Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti. Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2. Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.
Sumber :
http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma
Sabtu, 11 Juni 2011
Sejarah Teori Grup
Teori grup adalah abstraksi gagasan yang umum untuk sejumlah bidang utama yang sedang dipelajari dasarnya secara bersamaan.
Tiga bidang utama yang menimbulkan teori grup adalah:
(1) geometri pada awal abad 19,
(2) teori bilangan pada akhir abad ke 18,
(3) teori persamaan aljabar pada akhir abad ke 18 yang mengarah ke studi tentang permutasi.
(1) Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama sehingga wajar untuk bertanya apa yang terjadi pada geometri pada awal abad 19 yang memberikan kontribusi pada peningkatan konsep kelompok. Geometri telah mulai kehilangan 'metrik' nya karakter dengan geometri proyektif dan non-euclidean sedang dipelajari. Juga gerakan untuk belajar geometri dalam dimensi n mengarah ke abstraksi dalam geometri itu sendiri. Perbedaan antara dan kejadian geometri metrik berasal dari karya Monge , muridnya Carnot dan mungkin yang paling penting pekerjaan Poncelet. Non-euclidean geometri dipelajari oleh Lambert , Gauss ,Lobachevsky dan János Bolyai antara lain.
Möbius pada tahun 1827, meskipun ia benar-benar menyadari konsep kelompok, mulai mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa geometri tertentu studi sifat invarian bawah kelompok tertentu. Steiner pada tahun 1832 mempelajari pengertian geometri sintetis yang akhirnya menjadi bagian dari penelitian kelompok transformasi.
(2) Tahun 1761 Euler belajar aritmatika modular. Secara khusus ia memeriksa sisa kekuasaan dari modulo n nomor. Meskipun Euler pekerjaan ', tentu saja, tidak dinyatakan dalam istilah teoritis kelompok dia tidak memberikan contoh penguraian kelompok abelian ke cohimpunans dari sebuah subkelompok. Dia juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan subkelompok menjadi pembagi dari tatanan kelompok.
Gauss pada tahun 1801 adalah untuk mengambil Euler pekerjaan 'lebih jauh dan memberikan cukup banyak bekerja pada aritmatika modular yang berjumlah cukup banyak teori kelompok abelian. Dia memeriksa perintah elemen dan membuktikan (meskipun tidak dalam notasi ini) bahwa ada sub untuk himpunaniap nomor membagi urutan grup siklik. Gauss juga diperiksa kelompok abelian lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner
ax 2 + 2 bxy + cy 2 di mana a, b, c adalah bilangan bulat.
Gauss memeriksa perilaku bentuk yang transformasi dan substitusi. Dia partisi bentuk ke dalam kelas dan kemudian menentukan komposisi di kelas. Gaussmembuktikan bahwa urutan komposisi tiga bentuk adalah material begitu, dalam bahasa modern, hukum asosiatif berlaku. Bahkan Gauss memiliki kelompok abelian terbatas dan kemudian (tahun 1869).
(3) Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam makalahnya 1770 pada teori persamaan aljabar. Lagrange 's objek utama adalah untuk mengetahui mengapa dan quartic persamaan kubik dapat diselesaikan secara aljabar. Dalam mempelajari kubik, misalnya, Lagrange mengasumsikan akar dari persamaan kubik yang diberikan adalah x',''x dan x'''. Kemudian, mengambil 1, w, w^2 sebagai akar kubus persatuan, ia memeriksa ekspresi
R = x '+ wx''+ w^2 x'''
dan catatan yang dibutuhkan hanya dua nilai yang berbeda di bawah enam permutasi dari akar x ', x'', x'''. Meskipun awal kelompok teori permutasi dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah composes permutasi nya sehingga dalam beberapa hal tidak pernah membahas kelompok sama sekali.
Orang pertama yang mengklaim bahwa persamaan derajat 5 tidak bisa diselesaikan secara aljabar adalah Ruffini . Pada tahun 1799 ia menerbitkan karya yang tujuannya adalah untuk menunjukkan hal tdk dpt memecahkan persamaan quintic umum. Ruffini karya 'didasarkan pada bahwa dari Lagrange tetapi Ruffini memperkenalkan kelompok permutasi. Ini dia sebut permutasi dan secara eksplisit menggunakan properti penutupan (hukum asosiatif selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi permutazione ke dalam jenis, permutasi semplice yaitu yang merupakan grup siklik dalam notasi modern, dan composta permutasi yang kelompok-kelompok non-siklik.
Permutasi composta The Ruffini terbagi menjadi tiga jenis yang dalam notasi saat ini adalah kelompok intransitif, kelompok imprimitive transitif dan kelompok primitif transitif.
Bukti Ruffini dari hal tersebut mengecewakan dengan kurangnya reaksi terhadapnya, kertas Ruffini diterbitkan bukti lebih lanjut. Dalam sebuah kertas 1802 ia menunjukkan bahwa kelompok permutasi dikaitkan dengan sebuah persamaan tereduksi transitif mengambil pemahaman dengan baik di luar itu dari Lagrange .
Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori permutasi. kertas pertamanya pada subyek tersebut adalah pada tahun 1815 tetapi pada tahap iniCauchy dimotivasi oleh permutasi dari akar persamaan. Namun, pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karya besar yang membentuk teori permutasi sebagai subyek di dalam dirinya sendiri. Dia memperkenalkan notasi kekuasaan, positif dan negatif, permutasi (dengan kekuatan 0 memberikan permutasi identitas), mendefinisikan urutan dari suatu permutasi, memperkenalkan notasi siklus dan menggunakan istilah Systeme des conjuguées substitusi grup. Cauchy panggilan dua permutasi sama jika mereka memiliki struktur siklus yang sama dan membuktikan bahwa ini adalah sama dengan permutasi yang konjugat.
Abel , pada tahun 1824, memberikan bukti diterima pertama dari hal tdk dpt mencairkan dari quintic, dan ia menggunakan ide-ide yang ada di permutasi dari akar tetapi sedikit baru dalam perkembangan teori grup.
Galois tahun 1831 adalah yang pertama untuk benar-benar memahami bahwa solusi dari suatu persamaan aljabar adalah terkait dengan struktur kelompok le Groupe permutasi yang berkaitan dengan persamaan. Dengan 1832 Galois telah menemukan bahwa sub kelompok khusus (sekarang disebut subkelompok normal) yang mendasar. Dia menyebut kelompok dekomposisi ke dalam cohimpunans dari sub dekomposisi yang tepat jika hak dan dekomposisi cohimpunan kiri bersamaan. Galois kemudian menunjukkan bahwa abelian sederhana kelompok non-order terkecil memiliki urutan 60.
Pekerjaan Galois tidak diketahui sampai Liouville menerbitkan makalah Galois pada tahun 1846. Liouville melihat dengan jelas hubungan antara teori permutasi Cauchy dan pekerjaan Galois. Namun Liouville gagal untuk memahami bahwa pentingnya Galois bekerja terletak pada konsep kelompok.
Betti mulai pada tahun 1851 menerbitkan karya yang berhubungan teori permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama untuk membuktikan bahwa Galois 'kelompok yang terkait dengan persamaan sebenarnya sekelompok permutasi dalam pengertian modern. Serret menerbitkan sebuah pekerjaan penting membahas Galois 'kerja, masih tanpa melihat pentingnya konsep kelompok.
Jordan dalam makalah dari 1869 dan 1870 menunjukkan 1865 bahwa ia menyadari pentingnya kelompok permutasi. Ia mendefinisikan isomorfisma kelompok permutasi dan membuktikan Jordan - Pemegang teorema untuk kelompok permutasi. Holder adalah untuk membuktikan dalam konteks kelompok abstrak pada tahun 1889.
Klein mengusulkan Program Erlangen pada tahun 1872 yang merupakan teori klasifikasi kelompok geometri. Kelompok tentu menjadi tengah panggung dalam matematika.
Mungkin perkembangan yang paling luar biasa datang bahkan sebelum Betti. Hal ini disebabkan bahasa Inggris matematikawan Cayley . Pada awal 1849 Cayley menerbitkan kertas menghubungkan ide-idenya pada permutasi Cauchy. Pada tahun 1854 Cayley menulis dua makalah yang luar biasa untuk wawasan mereka memiliki kelompok abstrak. Pada waktu itu dikenal kelompok hanya itu kelompok permutasi dan bahkan ini adalah daerah baru secara radikal, namun Cayley mendefinisikan sebuah kelompok abstrak dan memberikan tabel untuk menampilkan perkalian kelompok. Dia memberikan Cayley tabel dari beberapa kelompok permutasi khusus tetapi, jauh lebih signifikan untuk pengenalan konsep grup abstrak, dia menyadari bahwa matriks dan quaternions adalah kelompok.
Cayley makalah tentang 1854 sangat jauh di depan waktu mereka bahwa mereka memiliki dampak yang kecil. Namun ketika Cayley kembali ke topik pada tahun 1878 dengan empat makalah tentang kelompok, salah satu dari mereka yang disebut Teori kelompok, waktu yang tepat untuk konsep abstrak kelompok bergerak menuju pusat penyelidikan matematika. Cayley terbukti, di antara hasil lainnya, bahwa himpunaniap kelompok hingga dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi. Cayley karya diminta Hölder, pada tahun 1893, untuk menyelidiki kelompok order p 3, pq 2, PQR dan p 4.
Frobenius dan Netto (mahasiswa Kronecker ) membawa teori kelompok maju. Sejauh konsep abstrak yang bersangkutan, penyumbang utama berikutnya adalah Von Dyck. Von Dyck , yang telah memperoleh gelar doktor di bawah Klein 'supervisi kemudian menjadi asisten Klein. Von Dyck , dengan kertas fundamental pada tahun 1882 dan 1883, dibangun gratis kelompok dan definisi kelompok abstrak dalam hal generator dan hubungan.
Teori grup benar-benar datang dari umur dengan buku oleh Burnside Teori kelompok order hingga diterbitkan pada tahun 1897. Kedua volume aljabar buku oleh Heinrich Weber (seorang mahasiswa Dedekind ) Lehrbuch der Aljabar diterbitkan pada tahun 1895 dan 1896 menjadi teks standar. Buku-buku ini mempengaruhi generasi berikutnya matematikawan membawa teori grup ke mungkin yang utama sebagian besar teori matematika abad ke 20.
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html
Tiga bidang utama yang menimbulkan teori grup adalah:
(1) geometri pada awal abad 19,
(2) teori bilangan pada akhir abad ke 18,
(3) teori persamaan aljabar pada akhir abad ke 18 yang mengarah ke studi tentang permutasi.
(1) Geometri telah dipelajari untuk waktu yang sangat lama sehingga wajar untuk bertanya apa yang terjadi pada geometri pada awal abad 19 yang memberikan kontribusi pada peningkatan konsep kelompok. Geometri telah mulai kehilangan 'metrik' nya karakter dengan geometri proyektif dan non-euclidean sedang dipelajari. Juga gerakan untuk belajar geometri dalam dimensi n mengarah ke abstraksi dalam geometri itu sendiri. Perbedaan antara dan kejadian geometri metrik berasal dari karya Monge , muridnya Carnot dan mungkin yang paling penting pekerjaan Poncelet. Non-euclidean geometri dipelajari oleh Lambert , Gauss ,Lobachevsky dan János Bolyai antara lain.
Möbius pada tahun 1827, meskipun ia benar-benar menyadari konsep kelompok, mulai mengklasifikasikan geometri menggunakan fakta bahwa geometri tertentu studi sifat invarian bawah kelompok tertentu. Steiner pada tahun 1832 mempelajari pengertian geometri sintetis yang akhirnya menjadi bagian dari penelitian kelompok transformasi.
(2) Tahun 1761 Euler belajar aritmatika modular. Secara khusus ia memeriksa sisa kekuasaan dari modulo n nomor. Meskipun Euler pekerjaan ', tentu saja, tidak dinyatakan dalam istilah teoritis kelompok dia tidak memberikan contoh penguraian kelompok abelian ke cohimpunans dari sebuah subkelompok. Dia juga membuktikan sebuah kasus khusus dari urutan subkelompok menjadi pembagi dari tatanan kelompok.
Gauss pada tahun 1801 adalah untuk mengambil Euler pekerjaan 'lebih jauh dan memberikan cukup banyak bekerja pada aritmatika modular yang berjumlah cukup banyak teori kelompok abelian. Dia memeriksa perintah elemen dan membuktikan (meskipun tidak dalam notasi ini) bahwa ada sub untuk himpunaniap nomor membagi urutan grup siklik. Gauss juga diperiksa kelompok abelian lainnya. Dia memandang bentuk kuadrat biner
ax 2 + 2 bxy + cy 2 di mana a, b, c adalah bilangan bulat.
Gauss memeriksa perilaku bentuk yang transformasi dan substitusi. Dia partisi bentuk ke dalam kelas dan kemudian menentukan komposisi di kelas. Gaussmembuktikan bahwa urutan komposisi tiga bentuk adalah material begitu, dalam bahasa modern, hukum asosiatif berlaku. Bahkan Gauss memiliki kelompok abelian terbatas dan kemudian (tahun 1869).
(3) Permutasi pertama kali dipelajari oleh Lagrange dalam makalahnya 1770 pada teori persamaan aljabar. Lagrange 's objek utama adalah untuk mengetahui mengapa dan quartic persamaan kubik dapat diselesaikan secara aljabar. Dalam mempelajari kubik, misalnya, Lagrange mengasumsikan akar dari persamaan kubik yang diberikan adalah x',''x dan x'''. Kemudian, mengambil 1, w, w^2 sebagai akar kubus persatuan, ia memeriksa ekspresi
R = x '+ wx''+ w^2 x'''
dan catatan yang dibutuhkan hanya dua nilai yang berbeda di bawah enam permutasi dari akar x ', x'', x'''. Meskipun awal kelompok teori permutasi dapat dilihat dalam karya ini, Lagrange tidak pernah composes permutasi nya sehingga dalam beberapa hal tidak pernah membahas kelompok sama sekali.
Orang pertama yang mengklaim bahwa persamaan derajat 5 tidak bisa diselesaikan secara aljabar adalah Ruffini . Pada tahun 1799 ia menerbitkan karya yang tujuannya adalah untuk menunjukkan hal tdk dpt memecahkan persamaan quintic umum. Ruffini karya 'didasarkan pada bahwa dari Lagrange tetapi Ruffini memperkenalkan kelompok permutasi. Ini dia sebut permutasi dan secara eksplisit menggunakan properti penutupan (hukum asosiatif selalu berlaku untuk permutasi). Ruffini membagi permutazione ke dalam jenis, permutasi semplice yaitu yang merupakan grup siklik dalam notasi modern, dan composta permutasi yang kelompok-kelompok non-siklik.
Permutasi composta The Ruffini terbagi menjadi tiga jenis yang dalam notasi saat ini adalah kelompok intransitif, kelompok imprimitive transitif dan kelompok primitif transitif.
Bukti Ruffini dari hal tersebut mengecewakan dengan kurangnya reaksi terhadapnya, kertas Ruffini diterbitkan bukti lebih lanjut. Dalam sebuah kertas 1802 ia menunjukkan bahwa kelompok permutasi dikaitkan dengan sebuah persamaan tereduksi transitif mengambil pemahaman dengan baik di luar itu dari Lagrange .
Cauchy memainkan peran utama dalam mengembangkan teori permutasi. kertas pertamanya pada subyek tersebut adalah pada tahun 1815 tetapi pada tahap iniCauchy dimotivasi oleh permutasi dari akar persamaan. Namun, pada tahun 1844, Cauchy menerbitkan karya besar yang membentuk teori permutasi sebagai subyek di dalam dirinya sendiri. Dia memperkenalkan notasi kekuasaan, positif dan negatif, permutasi (dengan kekuatan 0 memberikan permutasi identitas), mendefinisikan urutan dari suatu permutasi, memperkenalkan notasi siklus dan menggunakan istilah Systeme des conjuguées substitusi grup. Cauchy panggilan dua permutasi sama jika mereka memiliki struktur siklus yang sama dan membuktikan bahwa ini adalah sama dengan permutasi yang konjugat.
Abel , pada tahun 1824, memberikan bukti diterima pertama dari hal tdk dpt mencairkan dari quintic, dan ia menggunakan ide-ide yang ada di permutasi dari akar tetapi sedikit baru dalam perkembangan teori grup.
Galois tahun 1831 adalah yang pertama untuk benar-benar memahami bahwa solusi dari suatu persamaan aljabar adalah terkait dengan struktur kelompok le Groupe permutasi yang berkaitan dengan persamaan. Dengan 1832 Galois telah menemukan bahwa sub kelompok khusus (sekarang disebut subkelompok normal) yang mendasar. Dia menyebut kelompok dekomposisi ke dalam cohimpunans dari sub dekomposisi yang tepat jika hak dan dekomposisi cohimpunan kiri bersamaan. Galois kemudian menunjukkan bahwa abelian sederhana kelompok non-order terkecil memiliki urutan 60.
Pekerjaan Galois tidak diketahui sampai Liouville menerbitkan makalah Galois pada tahun 1846. Liouville melihat dengan jelas hubungan antara teori permutasi Cauchy dan pekerjaan Galois. Namun Liouville gagal untuk memahami bahwa pentingnya Galois bekerja terletak pada konsep kelompok.
Betti mulai pada tahun 1851 menerbitkan karya yang berhubungan teori permutasi dan teori persamaan. Bahkan Betti adalah yang pertama untuk membuktikan bahwa Galois 'kelompok yang terkait dengan persamaan sebenarnya sekelompok permutasi dalam pengertian modern. Serret menerbitkan sebuah pekerjaan penting membahas Galois 'kerja, masih tanpa melihat pentingnya konsep kelompok.
Jordan dalam makalah dari 1869 dan 1870 menunjukkan 1865 bahwa ia menyadari pentingnya kelompok permutasi. Ia mendefinisikan isomorfisma kelompok permutasi dan membuktikan Jordan - Pemegang teorema untuk kelompok permutasi. Holder adalah untuk membuktikan dalam konteks kelompok abstrak pada tahun 1889.
Klein mengusulkan Program Erlangen pada tahun 1872 yang merupakan teori klasifikasi kelompok geometri. Kelompok tentu menjadi tengah panggung dalam matematika.
Mungkin perkembangan yang paling luar biasa datang bahkan sebelum Betti. Hal ini disebabkan bahasa Inggris matematikawan Cayley . Pada awal 1849 Cayley menerbitkan kertas menghubungkan ide-idenya pada permutasi Cauchy. Pada tahun 1854 Cayley menulis dua makalah yang luar biasa untuk wawasan mereka memiliki kelompok abstrak. Pada waktu itu dikenal kelompok hanya itu kelompok permutasi dan bahkan ini adalah daerah baru secara radikal, namun Cayley mendefinisikan sebuah kelompok abstrak dan memberikan tabel untuk menampilkan perkalian kelompok. Dia memberikan Cayley tabel dari beberapa kelompok permutasi khusus tetapi, jauh lebih signifikan untuk pengenalan konsep grup abstrak, dia menyadari bahwa matriks dan quaternions adalah kelompok.
Cayley makalah tentang 1854 sangat jauh di depan waktu mereka bahwa mereka memiliki dampak yang kecil. Namun ketika Cayley kembali ke topik pada tahun 1878 dengan empat makalah tentang kelompok, salah satu dari mereka yang disebut Teori kelompok, waktu yang tepat untuk konsep abstrak kelompok bergerak menuju pusat penyelidikan matematika. Cayley terbukti, di antara hasil lainnya, bahwa himpunaniap kelompok hingga dapat direpresentasikan sebagai suatu grup permutasi. Cayley karya diminta Hölder, pada tahun 1893, untuk menyelidiki kelompok order p 3, pq 2, PQR dan p 4.
Frobenius dan Netto (mahasiswa Kronecker ) membawa teori kelompok maju. Sejauh konsep abstrak yang bersangkutan, penyumbang utama berikutnya adalah Von Dyck. Von Dyck , yang telah memperoleh gelar doktor di bawah Klein 'supervisi kemudian menjadi asisten Klein. Von Dyck , dengan kertas fundamental pada tahun 1882 dan 1883, dibangun gratis kelompok dan definisi kelompok abstrak dalam hal generator dan hubungan.
Teori grup benar-benar datang dari umur dengan buku oleh Burnside Teori kelompok order hingga diterbitkan pada tahun 1897. Kedua volume aljabar buku oleh Heinrich Weber (seorang mahasiswa Dedekind ) Lehrbuch der Aljabar diterbitkan pada tahun 1895 dan 1896 menjadi teks standar. Buku-buku ini mempengaruhi generasi berikutnya matematikawan membawa teori grup ke mungkin yang utama sebagian besar teori matematika abad ke 20.
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory.html
Paradoks Matematika
Matematikawan selalu menghadapi masalah karena mereka memperluas pengetahuan mereka tentang bidang mereka. Sebagian besar masalah dapat diselesaikan. Namun, beberapa tampaknya tidak ada solusi dan bahkan dapat menantang matematika, itulah sebabnya mereka selalu menimbulkan masalah seperti matematika. Ini dikenal sebagai paradoks, yang pernyataan yang tampaknya bertentangan sendiri atau muncul tidak logis, tapi tetap bisa jadi benar. Contohnya adalah berkata, "Aku selalu berbohong." Jika Anda berbohong, Anda mengatakan yang sebenarnya, tetapi jika Anda mengatakan yang sebenarnya, Anda berbohong. Paradoks Zeno dengan tak terhingga, dari Cantor dan Russell dengan teori himpunan, dan paradoks kembar dalam fisika relativitas telah menciptakan masalah dan argumen untuk matematikawan, serta memaksa mereka untuk berpikir tentang subyek matematika dengan cara yang berbeda dari sebelumnya.
Zeno, filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.
Yang pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas.
Paradoks kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz 57).
Paradoks Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles, "sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7). Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya.
Paradoks Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari 2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi miring.
Penelitian infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif. Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1).
Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).
Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).
Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.
Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.
Sumber :
http://tiger.towson.edu/~gstiff1/paradoxpaper.htm
Zeno, filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.
Yang pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas.
Paradoks kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz 57).
Paradoks Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles, "sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7). Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya.
Paradoks Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari 2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi miring.
Penelitian infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif. Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1).
Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).
Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah "yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).
Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya. Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam aljabar atau geometri.
Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.
Sumber :
http://tiger.towson.edu/~gstiff1/paradoxpaper.htm
Sejarah Lingkaran
Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.
Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon.
Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini.
Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling.
kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid, sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .
Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Circle.html
Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon.
Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini.
Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan limacon jika titik pedal bukan pada keliling.
kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid, sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .
Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Circle.html
Sejarah Parabola
Parabola dipelajari oleh Menaechmus yang merupakan murid dari Plato dan Eudoxus . Ia berusaha untuk menduplikasi kubus, yaitu untuk mencari sisi kubus yang memiliki volume dua kali lipat dari sebuah kubus yang diberikan. Oleh karena itu ia berusaha untuk memecahkan x^3 = 2 dengan metode geometri.
Bahkan metode geometris konstruksi penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x^2 = y dan y^2 = 2 x.
Euclid menulis tentang parabola dan itu diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola itu dikemukakan oleh Pappus .
Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.
Gregory dan Newton mengemukakan sebagai properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.
Pedal parabola dengan titik sebagai titik pedal adalah cissoid . Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunaniap titik lain dari directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah Trisectrix dari Maclaurin .
Evolute parabola adalah parabola Neile itu . Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola, sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan ke cardioid . Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan keCissoid dari Diocles . Para kaustik dari parabola dengan sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic .
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Parabola.html
http://xsquared.wikispaces.com/Parabola+History
Bahkan metode geometris konstruksi penggaris dan kompas tidak bisa memecahkan ini (tapi Menaechmus tidak tahu ini). Menaechmus dipecahkan itu dengan mencari perpotongan dari dua parabola x^2 = y dan y^2 = 2 x.
Euclid menulis tentang parabola dan itu diberi nama yang sekarang oleh Apollonius. Fokus dan direktori dari parabola itu dikemukakan oleh Pappus .
Pascal mengemukakan parabola sebagai proyeksi lingkaran dan Galileo menunjukkan bahwa proyektil mengikuti jalur parabola.
Gregory dan Newton mengemukakan sebagai properti dari sebuah parabola yang membawa sinar sejajar cahaya untuk fokus.
Pedal parabola dengan titik sebagai titik pedal adalah cissoid . Pedal dari parabola dengan fokus sebagai pedal titik adalah garis lurus. Dengan kaki pedal directrix sebagai titik itu adalah hak strophoid (sebuah strophoid miring untuk himpunaniap titik lain dari directrix). Kurva pedal saat pedal titik gambar fokus dalam directrix adalah Trisectrix dari Maclaurin .
Evolute parabola adalah parabola Neile itu . Dari titik di atas tiga normals evolute dapat ditarik untuk parabola, sementara hanya satu normal dapat ditarik untuk parabola dari titik bawah evolute. Jika fokus parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan ke cardioid . Jika simpul parabola diambil sebagai pusat inversi, parabola membalikkan keCissoid dari Diocles . Para kaustik dari parabola dengan sinar tegak lurus terhadap sumbu parabola adalah Tschirnhaus's Cubic .
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Parabola.html
http://xsquared.wikispaces.com/Parabola+History
Sejarah Struktur Aljabar
Sejarah aljabar dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c) persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2 + y^2 = z^2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babilonia kuno dapat memecahkan persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa memecahkan beberapa persamaan tak tentu.
Para matematikawan Aleksandria Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tapi Diophantus buku Arithmetica ada di tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Pengetahuan kuno solusi persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai "ilmu restorasi dan balancing." (Kata bahasa Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar kata aljabar). Pada abad ke-9, matematikawan Arab al-Khawarizmi menulis salah satu aljabar Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad ke-9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah-masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x^2 + y^2 = z^2, dan xz = y^2.
Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang-teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh irisan kerucut, tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubik x^3 + 2 x^2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi.
Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihatpersamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galoismembuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada.
Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar. teks geometri Nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan. Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa himpunaniap persamaan polinomial himpunanidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .
Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial.Dua contoh dari sistem tersebut kelompok aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk.
Segera himpunanelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar.
Sumber :
http://www.algebra.com/algebra/about/history/
Para matematikawan Aleksandria Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tapi Diophantus buku Arithmetica ada di tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit. Pengetahuan kuno solusi persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai "ilmu restorasi dan balancing." (Kata bahasa Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar kata aljabar). Pada abad ke-9, matematikawan Arab al-Khawarizmi menulis salah satu aljabar Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad ke-9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah-masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x^2 + y^2 = z^2, dan xz = y^2.
Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang-teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh irisan kerucut, tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubik x^3 + 2 x^2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi.
Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihatpersamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galoismembuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada.
Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar. teks geometri Nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan. Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa himpunaniap persamaan polinomial himpunanidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .
Pada saat Gauss, aljabar telah memasuki fase modern. Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial.Dua contoh dari sistem tersebut kelompok aljabar (lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk.
Segera himpunanelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar.
Sumber :
http://www.algebra.com/algebra/about/history/
Sejarah Teori Himpunan
Matematikawan telah menggunakan himpunan sejak awal subjek. Misalnya, ahli matematika Yunani mendefinisikan lingkaran sebagai himpunan poin pada jarak r tetap dari titik tetap P. Namun, konsep 'himpunan tak terhingga' & terbatas 'himpunan menghindari ahli matematika dan filsuf selama berabad-abad. Misalnya, pikiran Hindu dipahami tak terbatas dalam mereka Ishavasy teks kitab suci-opanishad sebagai berikut: "Keseluruhan ada di sana. Keseluruhan berada di sini. Dari lubang imanates keseluruhan. Menyingkirkan keseluruhan dari keseluruhan, apa tersisa masih satu Utuh”. Phythagoras (~ 585-500 SM), seorang matematikawan Yunani, berhubungan baik dan jahat dengan terbatas dan tidak terbatas, masing-masing. Aristoteles (384-322 SM) mengatakan, "tak terbatas tidak sempurna, belum selesai dan karena itu, tak terpikirkan, itu tak berbentuk dan bingung." Kaisar Romawi dan filsuf Marcus Aqarchus (121-180 M) mengatakan tak terhingga adalah sebuah teluk yg tak dpt diduga, di mana segala sesuatu lenyap "filsuf. Inggris Thomas Hobbes (1588-1679) berkata," Ketika kita mengatakan sesuatu adalah tak terbatas, kami hanya menandakan bahwa kita tidak bisa hamil berakhir dan batas-batas hal yang bernama ".
Ahli matematika bekerja, serta jalan, jarang berkaitan dengan pertanyaan unusal: apa angka? Namun upaya untuk menjawab pertanyaan ini justru telah mendorong banyak pekerjaan oleh matematikawan dan filsuf di dasar matematika selama seratus tahun terakhir. Karakterisasi bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real telah menjadi masalah klasik pusat untuk penelitian dari Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano, Russel, Whitehead, Brouwer, dan lain-lain. Peneliti dari Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori dengan rangkaian tanpa batas dan topik terkait analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Cantor, yang biasanya dianggap sebagai pendiri teori himpunan sebagai suatu disiplin matematika, dipimpin oleh karyanya menjadi pertimbangan himpunan tak terbatas atau kelas karakter sewenang-wenang.
Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi tentang menetapkan mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Yang paling terkenal di kalangan ini diberikan pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai's paradoks Russell.
Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah untuk 'axiomatize' Teori himpunan intuitif's Cantor. Axiomatization berarti sebagai berikut: dimulai dengan satu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam tiga-volume kerja mereka yang disebut Principia Matematikawan merasa canggung untuk digunakan.Sebuah Teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logistik sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). wa ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.
Sumber :
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/history.htm
http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/
Ahli matematika bekerja, serta jalan, jarang berkaitan dengan pertanyaan unusal: apa angka? Namun upaya untuk menjawab pertanyaan ini justru telah mendorong banyak pekerjaan oleh matematikawan dan filsuf di dasar matematika selama seratus tahun terakhir. Karakterisasi bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real telah menjadi masalah klasik pusat untuk penelitian dari Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano, Russel, Whitehead, Brouwer, dan lain-lain. Peneliti dari Georg Cantor sekitar 1870 dalam teori dengan rangkaian tanpa batas dan topik terkait analisis memberikan arah baru bagi perkembangan teori himpunan. Cantor, yang biasanya dianggap sebagai pendiri teori himpunan sebagai suatu disiplin matematika, dipimpin oleh karyanya menjadi pertimbangan himpunan tak terbatas atau kelas karakter sewenang-wenang.
Namun, hasil Cantor tidak segera diterima oleh orang-orang sejamannya. Juga, ditemukan bahwa definisi tentang menetapkan mengarah ke kontradiksi dan paradoks logis. Yang paling terkenal di kalangan ini diberikan pada 1918 oleh Bertrand Russell (1872-1970), sekarang dikenal sebagai's paradoks Russell.
Dalam upaya untuk menyelesaikan paradoks ini, reaksi pertama matematikawan adalah untuk 'axiomatize' Teori himpunan intuitif's Cantor. Axiomatization berarti sebagai berikut: dimulai dengan satu himpunan pernyataan jelas disebut aksioma, kebenaran yang diasumsikan, seseorang dapat menyimpulkan semua sisa proposisi teori dari aksioma menggunakan aksioma inferensi logis. Russell dan Alfred North Whitehead (1861-1974) pada tahun 1903 mengusulkan teori aksiomatik himpunan dalam tiga-volume kerja mereka yang disebut Principia Matematikawan merasa canggung untuk digunakan.Sebuah Teori himpunan aksiomatik yang dapat dikerjakan dan logistik sepenuhnya diberikan pada tahun 1908 oleh Ernst Zermello (1871-1953). wa ini meningkat pada tahun 1921 oleh Fraenkel A. Ibrahim (1891-1965) dan T. Skolem (1887-1963) dan sekarang dikenal sebagai 'Zermello-Frankel (ZF) teori aksiomatik-himpunan.
Sumber :
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory
http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/history.htm
http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/
Sejarah Irisan Kerucut
Sebuah kerucut (atau bagian kerucut) adalah kurva bidang yang diperoleh dengan memotong kerucut dengan bidang yang melalui verteks kerucut. Ada tiga kemungkinan, tergantung pada posisi relatif dari kerucut dan bidang.
Jika tidak ada garis kerucut sejajar dengan bidang, persimpangan adalah kurva tertutup, yang disebut elips. Jika salah satu garis kerucut sejajar dengan bidang, persimpangan merupakan kurva terbuka yang kedua ujungnya asimtotik paralel, ini disebut parabola. Akhirnya, mungkin ada dua garis sejajar di kerucut ke bidang, kurva dalam hal ini memiliki dua buah terbuka, dan disebut sebuah hiperbola.
Bagian irisan kerucut antara kurva tertua, dan merupakan subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Irisan kerucut telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), guru dari Alexander Agung. Mereka yang dibina dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah terkenal trisecting sudut, duplikasi kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. Irisan kerucut pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan: kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah bidang tegak lurus terhadap unsur kerucut. (Sebuah unsur kerucut adalah himpunaniap baris yang membentuk kerucut) Tergantung sudut kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90 derajat, masing-masing didapatkan elips, parabola, atau hiperbola.
Appollonius (c. 262-190 SM) (dikenal sebagai The Great geometri) diperpanjang sebelumnya hasil dan konsolidasi irisan kerucut menjadi Irisan kerucut Bagian monografi, yang terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi. Euclid's Appollonius 'Irisan kerucut Bagian dan Elemen mungkin mewakili intisari matematika Yunani. Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga irisan kerucut pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola.
Dalam hukum gerakan planet Kepler, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong irisan kerucut ke tingkat tinggi. Banyak matematikawan kemudian juga telah membuat kontribusi irisan kerucut, khususnya dalam pengembangan geometri proyektif mana irisan kerucut adalah obyek fundamental sebagai lingkaran dalam geometri Yunani. Di antara kontributor, kami mungkin menemukan Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, dan Steiner. bagian Irisan kerucut adalah bahasan klasik kaya yang telah mendorong banyak perkembangan dalam sejarah matematika.
Sumber :
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/emat6690/Insunit/conicsunit.html
http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/perspective/theory.htm
Jika tidak ada garis kerucut sejajar dengan bidang, persimpangan adalah kurva tertutup, yang disebut elips. Jika salah satu garis kerucut sejajar dengan bidang, persimpangan merupakan kurva terbuka yang kedua ujungnya asimtotik paralel, ini disebut parabola. Akhirnya, mungkin ada dua garis sejajar di kerucut ke bidang, kurva dalam hal ini memiliki dua buah terbuka, dan disebut sebuah hiperbola.
Bagian irisan kerucut antara kurva tertua, dan merupakan subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Irisan kerucut telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), guru dari Alexander Agung. Mereka yang dibina dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah terkenal trisecting sudut, duplikasi kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. Irisan kerucut pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan: kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah bidang tegak lurus terhadap unsur kerucut. (Sebuah unsur kerucut adalah himpunaniap baris yang membentuk kerucut) Tergantung sudut kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90 derajat, masing-masing didapatkan elips, parabola, atau hiperbola.
Appollonius (c. 262-190 SM) (dikenal sebagai The Great geometri) diperpanjang sebelumnya hasil dan konsolidasi irisan kerucut menjadi Irisan kerucut Bagian monografi, yang terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi. Euclid's Appollonius 'Irisan kerucut Bagian dan Elemen mungkin mewakili intisari matematika Yunani. Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga irisan kerucut pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola.
Dalam hukum gerakan planet Kepler, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong irisan kerucut ke tingkat tinggi. Banyak matematikawan kemudian juga telah membuat kontribusi irisan kerucut, khususnya dalam pengembangan geometri proyektif mana irisan kerucut adalah obyek fundamental sebagai lingkaran dalam geometri Yunani. Di antara kontributor, kami mungkin menemukan Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, dan Steiner. bagian Irisan kerucut adalah bahasan klasik kaya yang telah mendorong banyak perkembangan dalam sejarah matematika.
Sumber :
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/emat6690/Insunit/conicsunit.html
http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/perspective/theory.htm
Geometri Non Euclides
Pada sekitar 300 SM Euclid menulis The Elements, sebuah buku yang menjadi salah satu buku paling terkenal yang pernah ditulis. Euclid menyatakan lima postulat yang ia mendasarkan semua teoremanya. Postulat kelima Euclid yang berbunyi :
“Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu”.
Jelas bahwa postulat kelima berbeda dari keempat lainnya. Itu tidak memuaskan Euclid dan ia berusaha menghindari penggunaannya selama mungkin, sebenarnya 28 proposisi pertama The Elements terbukti tanpa menggunakannya. Komentar lain yang muncul pada saat ini adalah bahwa Euclid dan banyak pengikutinya, mengasumsikan bahwa garis lurus itu tak terbatas.
Proclus (410-485) menulis komentar di The Elements mana dia komentar pada bukti-bukti mencoba untuk menyimpulkan dalil kelima dari empat lainnya, khususnya ia mencatat bahwa Ptolemy telah menghasilkan bukti 'palsu'. Proclus kemudian melanjutkan untuk memberikan bukti palsu sendiri. Namun ia tidak memberikan dalil berikut ini yang himpunanara dengan postulat kelima.
Aksioma Playfair: “Mengingat garis dan titik tidak di baris tersebut, adalah mungkin untuk menarik tepat satu garis melalui titik sejajar ke garis.”
Meskipun terkenal dari zaman Proclus , ini menjadi dikenal sebagai Aksioma Playfair himpunanelah John Playfair menulis komentar terkenal pada Euclid tahun 1795 di mana ia mengusulkan mengganti Euclid 's postulat kelima dengan aksioma tersebut.
Banyak usaha dilakukan untuk membuktikan dalil kelima dari empat lainnya, banyak dari mereka yang diterima sebagai bukti untuk jangka waktu sampai kesalahan itu ditemukan. Selalu kesalahan itu dengan asumsi beberapa 'jelas' properti yang ternyata himpunanara dengan dalil kelima. bukti 'Satu seperti' diberikan oleh Wallis tahun 1663 ketika ia berpikir bahwa ia telah menyimpulkan dalil kelima, tapi ia benar-benar menunjukkan hal itu adalah himpunanara dengan:
“Untuk himpunaniap segitiga, terdapat sebuah segitiga yang sama besarnya sewenang-wenang.”
Salah satu bukti mencoba ternyata lebih penting daripada kebanyakan orang lain. Ini diproduksi tahun 1697 oleh Girolamo Saccheri. Pentingnya Saccheri pekerjaan adalah bahwa ia dianggap dalil kelima palsu dan berusaha untuk mendapatkan kontradiksi.
Berikut adalah segiempat Saccheri
Dalam gambar tersebut Saccheri membuktikan bahwa sudut puncak di D dan C merupakan bukti equal.The menggunakan sifat-sifat segitiga kongruen yang Euclid dibuktikan dalam Proposisi4 dan 8 yang terbukti sebelum postulat kelima digunakan.Saccheri telah menunjukkan:
a) sudut puncak adalah> 90 ° (hipotesis dari sudut tumpul).
b) sudut puncak adalah <90 ° (hipotesis dari sudut akut).
c) sudut puncak adalah = 90 ° (hipotesis dari sudut kanan).
Postulat kelima Euclid adalah c). Saccheri membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul tersirat dalil kelima, sehingga mendapatkan kontradiksi. Saccheri kemudian mempelajari hipotesis sudut lancip dan banyak teorema yang berasal dari non-Euclidean geometri tanpa menyadari apa yang ia lakukan. Namun ia akhirnya 'membuktikan' bahwa hipotesis sudut lancip menyebabkan kontradiksi dengan asumsi bahwa ada 'titik di infinity' yang terletak di bidang.
Pada 1766 Lambert mengikuti garis yang mirip dengan Saccheri . Namun ia tidak jatuh ke dalam perangkap yang Saccheri jatuh ke dalam dan menyelidiki hipotesis sudut lancip tanpa memperoleh kontradiksi. Lambert memperhatikan bahwa, dalam hal ini geometri baru, jumlah sudut segitiga meningkat sebagai kawasan segitiga menurun.
Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya bekerja pada postulat paralel dan bekerja muncul dalam lampiran berbagai edisi buku sukses geometrinya sangat Elements de Géométrie. Legendre membuktikan bahwa Euclid 's postulat kelima adalah himpunan dengan jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku. Legendre menunjukkan, Saccheri telah lebih dari 100 tahun sebelumnya, bahwa jumlah sudut segitiga tidak bisa lebih dari dua sudut siku-siku. Ini, sekali lagi seperti Saccheri, beristirahat pada kenyataan bahwa garis lurus yang tak terbatas. Dalam mencoba untuk menunjukkan bahwa nilai sudut tidak boleh kurang dari 180°, Legendre mengasumsikan bahwa melalui himpunan titik di pedalaman sudut selalu mungkin untuk menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Hal ini ternyata menjadi bentuk lain himpunanara dengan postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari kesalahannya sendiri.
Dasar geometri adalah dengan saat ini tergenang di dalam masalah dalil paralel. D'Alembert , pada tahun 1767, menyebutnya skandal geometri dasar. Orang pertama yang benar-benar datang untuk memahami masalah paralel adalah Gauss. Dia mulai bekerja pada postulat kelima tahun 1792 sementara hanya 15 tahun, pada awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kesejajaran dari empat lainnya. Pada 1813 ia telah membuat sedikit kemajuan dan menulis:
“Dalam teori paralel kita bahkan sekarang tidak lebih jauh dari Euclid . Ini merupakan bagian memalukan matematika ...”
Namun dengan 1817 Gauss telah menjadi yakin bahwa postulat kelima independen dari empat postulat lainnya. Dia mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana lebih dari satu baris dapat ditarik melalui paralel titik tertentu untuk garis yang diberikan. Mungkin yang paling mengejutkan dari semua, Gauss pernah menerbitkan karya ini, tetapi merahasiakannya. Pada waktu berpikir didominasi oleh Kant yang telah menyatakan bahwa geometri Euclidean adalah kebutuhan yang tak terelakkan dari pemikiran dan Gauss tidak menyukai kontroversi.
Gauss membahas teori paralel dengan temannya, matematikawan Farkas Bolyai yang membuat bukti palsu beberapa postulat paralel. Farkas Bolyai mengajari anaknya János Bolyai matematika. Pada tahun 1823 János Bolyai menulis kepada ayahnya, mengatakan bahwa dia mengetahui bahwa Gaus telah menemukan masalah tersebut sebelumnya namun tidak mempublikasikannya. János Bolyai butuh waktu dua tahun untuk menerbitkan bukunya.
Pekerjaan Bolyai berkurang karena Lobachevsky menerbitkan bekerja pada geometri non Euclidean 1829. Baik Bolyai maupun Gauss tahu pekerjaan Lobachevsky, terutama karena hanya diterbitkan dalam bahasa Rusia di Kazan Messenger publikasi universitas lokal. Lobachevsky bernasib tidak lebih baik dari Bolyai dalam memperoleh pengakuan publik atas kerja pentingnya. Ia menerbitkan investigasi geometris pada teori paralel pada tahun 1840 yang dalam 61 halamannya, memberikan catatan paling jelas dari pekerjaan Lobachevsky.
Penerbitan rekening di Perancis di Crelle 's 's Journal pada tahun 1837 membawa karyanya di-Euclidean geometri non khalayak luas tetapi komunitas matematika tidak siap untuk menerima ide-ide begitu revolusioner.
Dalam Lobachevsky buklet 1840 ia menjelaskan dengan jelas bagaimana geometri non-Euclidean karya-karyanya.
“Semua garis lurus yang dalam bidang keluar dari titik bisa, dengan mengacu pada garis lurus yang diberikan pada bidang yang sama, dibagi menjadi dua kelas - ke dalam pemotongan dan non-potong. garis batas ini dari satu dan kelas lain dari baris tersebut akan dipanggil sejajar dengan garis yang diketahui.”
Berikut ini adalah diagram Lobachevsky
Oleh karena itu Lobachevsky telah menggantikan postulat kelima Euclid dengan Postulat paralel Lobachevsky:
“Terdapat dua garis sejajar dengan garis yang diberikan melalui suatu titik tertentu tidak di telepon.”
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry
“Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu”.
Jelas bahwa postulat kelima berbeda dari keempat lainnya. Itu tidak memuaskan Euclid dan ia berusaha menghindari penggunaannya selama mungkin, sebenarnya 28 proposisi pertama The Elements terbukti tanpa menggunakannya. Komentar lain yang muncul pada saat ini adalah bahwa Euclid dan banyak pengikutinya, mengasumsikan bahwa garis lurus itu tak terbatas.
Proclus (410-485) menulis komentar di The Elements mana dia komentar pada bukti-bukti mencoba untuk menyimpulkan dalil kelima dari empat lainnya, khususnya ia mencatat bahwa Ptolemy telah menghasilkan bukti 'palsu'. Proclus kemudian melanjutkan untuk memberikan bukti palsu sendiri. Namun ia tidak memberikan dalil berikut ini yang himpunanara dengan postulat kelima.
Aksioma Playfair: “Mengingat garis dan titik tidak di baris tersebut, adalah mungkin untuk menarik tepat satu garis melalui titik sejajar ke garis.”
Meskipun terkenal dari zaman Proclus , ini menjadi dikenal sebagai Aksioma Playfair himpunanelah John Playfair menulis komentar terkenal pada Euclid tahun 1795 di mana ia mengusulkan mengganti Euclid 's postulat kelima dengan aksioma tersebut.
Banyak usaha dilakukan untuk membuktikan dalil kelima dari empat lainnya, banyak dari mereka yang diterima sebagai bukti untuk jangka waktu sampai kesalahan itu ditemukan. Selalu kesalahan itu dengan asumsi beberapa 'jelas' properti yang ternyata himpunanara dengan dalil kelima. bukti 'Satu seperti' diberikan oleh Wallis tahun 1663 ketika ia berpikir bahwa ia telah menyimpulkan dalil kelima, tapi ia benar-benar menunjukkan hal itu adalah himpunanara dengan:
“Untuk himpunaniap segitiga, terdapat sebuah segitiga yang sama besarnya sewenang-wenang.”
Salah satu bukti mencoba ternyata lebih penting daripada kebanyakan orang lain. Ini diproduksi tahun 1697 oleh Girolamo Saccheri. Pentingnya Saccheri pekerjaan adalah bahwa ia dianggap dalil kelima palsu dan berusaha untuk mendapatkan kontradiksi.
Berikut adalah segiempat Saccheri
Dalam gambar tersebut Saccheri membuktikan bahwa sudut puncak di D dan C merupakan bukti equal.The menggunakan sifat-sifat segitiga kongruen yang Euclid dibuktikan dalam Proposisi4 dan 8 yang terbukti sebelum postulat kelima digunakan.Saccheri telah menunjukkan:
a) sudut puncak adalah> 90 ° (hipotesis dari sudut tumpul).
b) sudut puncak adalah <90 ° (hipotesis dari sudut akut).
c) sudut puncak adalah = 90 ° (hipotesis dari sudut kanan).
Postulat kelima Euclid adalah c). Saccheri membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul tersirat dalil kelima, sehingga mendapatkan kontradiksi. Saccheri kemudian mempelajari hipotesis sudut lancip dan banyak teorema yang berasal dari non-Euclidean geometri tanpa menyadari apa yang ia lakukan. Namun ia akhirnya 'membuktikan' bahwa hipotesis sudut lancip menyebabkan kontradiksi dengan asumsi bahwa ada 'titik di infinity' yang terletak di bidang.
Pada 1766 Lambert mengikuti garis yang mirip dengan Saccheri . Namun ia tidak jatuh ke dalam perangkap yang Saccheri jatuh ke dalam dan menyelidiki hipotesis sudut lancip tanpa memperoleh kontradiksi. Lambert memperhatikan bahwa, dalam hal ini geometri baru, jumlah sudut segitiga meningkat sebagai kawasan segitiga menurun.
Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya bekerja pada postulat paralel dan bekerja muncul dalam lampiran berbagai edisi buku sukses geometrinya sangat Elements de Géométrie. Legendre membuktikan bahwa Euclid 's postulat kelima adalah himpunan dengan jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku. Legendre menunjukkan, Saccheri telah lebih dari 100 tahun sebelumnya, bahwa jumlah sudut segitiga tidak bisa lebih dari dua sudut siku-siku. Ini, sekali lagi seperti Saccheri, beristirahat pada kenyataan bahwa garis lurus yang tak terbatas. Dalam mencoba untuk menunjukkan bahwa nilai sudut tidak boleh kurang dari 180°, Legendre mengasumsikan bahwa melalui himpunan titik di pedalaman sudut selalu mungkin untuk menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Hal ini ternyata menjadi bentuk lain himpunanara dengan postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari kesalahannya sendiri.
Dasar geometri adalah dengan saat ini tergenang di dalam masalah dalil paralel. D'Alembert , pada tahun 1767, menyebutnya skandal geometri dasar. Orang pertama yang benar-benar datang untuk memahami masalah paralel adalah Gauss. Dia mulai bekerja pada postulat kelima tahun 1792 sementara hanya 15 tahun, pada awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kesejajaran dari empat lainnya. Pada 1813 ia telah membuat sedikit kemajuan dan menulis:
“Dalam teori paralel kita bahkan sekarang tidak lebih jauh dari Euclid . Ini merupakan bagian memalukan matematika ...”
Namun dengan 1817 Gauss telah menjadi yakin bahwa postulat kelima independen dari empat postulat lainnya. Dia mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana lebih dari satu baris dapat ditarik melalui paralel titik tertentu untuk garis yang diberikan. Mungkin yang paling mengejutkan dari semua, Gauss pernah menerbitkan karya ini, tetapi merahasiakannya. Pada waktu berpikir didominasi oleh Kant yang telah menyatakan bahwa geometri Euclidean adalah kebutuhan yang tak terelakkan dari pemikiran dan Gauss tidak menyukai kontroversi.
Gauss membahas teori paralel dengan temannya, matematikawan Farkas Bolyai yang membuat bukti palsu beberapa postulat paralel. Farkas Bolyai mengajari anaknya János Bolyai matematika. Pada tahun 1823 János Bolyai menulis kepada ayahnya, mengatakan bahwa dia mengetahui bahwa Gaus telah menemukan masalah tersebut sebelumnya namun tidak mempublikasikannya. János Bolyai butuh waktu dua tahun untuk menerbitkan bukunya.
Pekerjaan Bolyai berkurang karena Lobachevsky menerbitkan bekerja pada geometri non Euclidean 1829. Baik Bolyai maupun Gauss tahu pekerjaan Lobachevsky, terutama karena hanya diterbitkan dalam bahasa Rusia di Kazan Messenger publikasi universitas lokal. Lobachevsky bernasib tidak lebih baik dari Bolyai dalam memperoleh pengakuan publik atas kerja pentingnya. Ia menerbitkan investigasi geometris pada teori paralel pada tahun 1840 yang dalam 61 halamannya, memberikan catatan paling jelas dari pekerjaan Lobachevsky.
Penerbitan rekening di Perancis di Crelle 's 's Journal pada tahun 1837 membawa karyanya di-Euclidean geometri non khalayak luas tetapi komunitas matematika tidak siap untuk menerima ide-ide begitu revolusioner.
Dalam Lobachevsky buklet 1840 ia menjelaskan dengan jelas bagaimana geometri non-Euclidean karya-karyanya.
“Semua garis lurus yang dalam bidang keluar dari titik bisa, dengan mengacu pada garis lurus yang diberikan pada bidang yang sama, dibagi menjadi dua kelas - ke dalam pemotongan dan non-potong. garis batas ini dari satu dan kelas lain dari baris tersebut akan dipanggil sejajar dengan garis yang diketahui.”
Berikut ini adalah diagram Lobachevsky
Oleh karena itu Lobachevsky telah menggantikan postulat kelima Euclid dengan Postulat paralel Lobachevsky:
“Terdapat dua garis sejajar dengan garis yang diberikan melalui suatu titik tertentu tidak di telepon.”
Sumber :
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry
Teorema Pythagoras
“Teorema Pythagoras” dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segitiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya. Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, dimana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides diantara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa ‘jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusanya’.
Secara sistematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a^2 + b^2 = c^2, dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusnya (sisi miring).
Sekitar 4000 tahun yang lalu, sebuah tablet tanah liat asal Babilonia ini ditemukan dengan tulisan berikut: “4 adalah panjang dan 5 diagonal. Selain itu, orang Cina juga tahu teorema ini. Hal ini disebabkan Tschou-Gun yang tinggal di 1100 SM. Dia mengetahui karakteristik dari sudut kanan. Teorema ini juga dikenal dengan Caldeans atau “Teorema Gougu’. Hal ini membuktikan bahwa telah jauh hari mereka menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang 3, 4,dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku.mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali kedalam 12 bagian yang sama,seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3,sisi kedua adalah 4,dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.
Selain itu, Orang Mesir tahu bahwa sebuah segitiga dengan sisi-sisi 3, 4, dan 5 membuat 90o sudut. Sebagai Sebenarnya, mereka mempunyai tali dengan 12 secara merata knot spasi seperti ini: Bahwa mereka digunakan untuk membangun sudut yang sempurna dalam bangunan dan piramida. Hal ini diyakini bahwa mereka hanya tahu tentang 3, 4, 5 segitiga dan bukan teorema umum yang berlaku untuk semua segitiga siku-siku. Walaupun teorema dikenal jauh di jaman prasejarah, namun Pythagoras lah yang membuatnya populer. Itulah sebabnya dikenal sebagai Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras dikaitkan dengan demonstrasi geometris pertama. Ada ratusan demonstrasi geometris murni serta terbatas dari bukti aljabar. Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema paling penting di seluruh dunia geometri.
Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden menghipotesiskan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Triple Pythagoras. Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Tomas L. Heath, tidak ada penelitian sebab dari teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teoroma ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencapai Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, eleman Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teoroma Pythagoras atau disebut dengan “Gougo Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4,dan 5. Selama Dinasti han (202-220 SM), tripel Pythagoras muncul di sembilan bab pada seni matematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.
Sumber :
http://library-math.unm.ac.id/blog/?p=220
Secara sistematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a^2 + b^2 = c^2, dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusnya (sisi miring).
Sekitar 4000 tahun yang lalu, sebuah tablet tanah liat asal Babilonia ini ditemukan dengan tulisan berikut: “4 adalah panjang dan 5 diagonal. Selain itu, orang Cina juga tahu teorema ini. Hal ini disebabkan Tschou-Gun yang tinggal di 1100 SM. Dia mengetahui karakteristik dari sudut kanan. Teorema ini juga dikenal dengan Caldeans atau “Teorema Gougu’. Hal ini membuktikan bahwa telah jauh hari mereka menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang 3, 4,dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku.mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali kedalam 12 bagian yang sama,seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3,sisi kedua adalah 4,dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.
Selain itu, Orang Mesir tahu bahwa sebuah segitiga dengan sisi-sisi 3, 4, dan 5 membuat 90o sudut. Sebagai Sebenarnya, mereka mempunyai tali dengan 12 secara merata knot spasi seperti ini: Bahwa mereka digunakan untuk membangun sudut yang sempurna dalam bangunan dan piramida. Hal ini diyakini bahwa mereka hanya tahu tentang 3, 4, 5 segitiga dan bukan teorema umum yang berlaku untuk semua segitiga siku-siku. Walaupun teorema dikenal jauh di jaman prasejarah, namun Pythagoras lah yang membuatnya populer. Itulah sebabnya dikenal sebagai Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras dikaitkan dengan demonstrasi geometris pertama. Ada ratusan demonstrasi geometris murni serta terbatas dari bukti aljabar. Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema paling penting di seluruh dunia geometri.
Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden menghipotesiskan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Triple Pythagoras. Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Tomas L. Heath, tidak ada penelitian sebab dari teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teoroma ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencapai Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, eleman Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teoroma Pythagoras atau disebut dengan “Gougo Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4,dan 5. Selama Dinasti han (202-220 SM), tripel Pythagoras muncul di sembilan bab pada seni matematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.
Sumber :
http://library-math.unm.ac.id/blog/?p=220
Geometri Euclides
Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah didefinisikan dalam bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-tiga.
Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik.
2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus.
3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya.
4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.
5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.
Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada satu dan hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong baris pertama, tidak peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang. Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat dibuktikan sebagai teorema, selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil lainnya. Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean.
Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 János Bolyai, dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama 28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan "garis tidak ada yang melewati titik" geometri maka elips atau bulat dijelaskan.Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan "minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik bahwa" maka geometri hiperbolik dijelaskan.
Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan geometri padat, yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat adalah bagian dari geometri dalam ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra, bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean geometri Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenis ruang. Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan dilambangkan sebagai R^n. Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n (lihat topologi). Contravariant dan jumlah kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean. R^1 adalah garis yang nyata, yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang unik pada baris. Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan dinotasikan R^2.
Sumber :
http://www.bookrags.com/research/euclidean-geometries-wom/
Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik.
2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus.
3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya.
4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.
5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.
Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada satu dan hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong baris pertama, tidak peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang. Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat dibuktikan sebagai teorema, selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil lainnya. Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi independen dari empat lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri untuk dipertimbangkan Euclidean.
Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 János Bolyai, dikembangkan secara independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri sepenuhnya di mana postulat kelima tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak dipublikasikan. Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam proposisi pertama 28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama postulat Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana dinyatakan di atas, dalil kelima dan karenanya paralel dalil menggambarkan geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan "garis tidak ada yang melewati titik" geometri maka elips atau bulat dijelaskan.Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan "minimal dua baris ada terjadilah bahwa melalui titik bahwa" maka geometri hiperbolik dijelaskan.
Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan geometri padat, yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri dalam ruang dua dimensi yang berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat adalah bagian dari geometri dalam ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat, seperti polyhedra, bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean geometri Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenis ruang. Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan dilambangkan sebagai R^n. Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n (lihat topologi). Contravariant dan jumlah kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean. R^1 adalah garis yang nyata, yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang unik pada baris. Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan dinotasikan R^2.
Sumber :
http://www.bookrags.com/research/euclidean-geometries-wom/
Sejarah Bilangan (Teori Bilangan)
Berikut ini akan dijelaskan mengenai sejarah dan perkembangan bilangan (teori bilangan) dari jaman dahulu sampai yang dipergunakan sekarang ini.
a. Sejarah Matematika Purbakala
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya himpunanelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.
Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini.
b. Perkembangan Teori Bilangan
1) Teori Bilangan Pada suku Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal
2) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
3) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit.
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid.
Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
4) Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
c. Sejarah Angka Nol
Angka nol diperkenalkan sebagai bilangan dan sebagai symbol untuk mengisi ruang kosong pertama kali oleh al-Khwarizmi. Nol(0) yang dalam bahasa inggris zero yang dapat diartikan pula empty atau kosong.
Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah garis miring( // ) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi perhitungan. Perhatikan contoh ini :
0 = 0 ( nol sama dengan nol, benar)
0 x 3 = 0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)
3 = 89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan. Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan himpunanelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.
Sumber :
http://eduklinik.info/2010/11/20/sejarah-teori-bilangan/
http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en|id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Number
a. Sejarah Matematika Purbakala
Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya himpunanelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.
Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini.
b. Perkembangan Teori Bilangan
1) Teori Bilangan Pada suku Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal
2) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno
Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.
3) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India
Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit.
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid.
Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.
4) Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.
c. Sejarah Angka Nol
Angka nol diperkenalkan sebagai bilangan dan sebagai symbol untuk mengisi ruang kosong pertama kali oleh al-Khwarizmi. Nol(0) yang dalam bahasa inggris zero yang dapat diartikan pula empty atau kosong.
Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah garis miring( // ) untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi perhitungan. Perhatikan contoh ini :
0 = 0 ( nol sama dengan nol, benar)
0 x 3 = 0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)
3 = 89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan. Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan himpunanelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.
Sumber :
http://eduklinik.info/2010/11/20/sejarah-teori-bilangan/
http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en|id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Number
MATEMATIKA ADALAH DIRI SAYA SENDIRI
matematika sudah ada sejak jaman dahulu kala, sejak jaman prasejarah. Banyak masalah yang diselesaikan menggunakan matematika. Para matematikawan dari jaman dahulu kala hingga jaman sekarang ini berusaha mengembangkan matematika. Matematikawan dahulu kala menciptakan teori-teori dasar dari matematika. Teori-teori tersebut di pelajari dan disempurnakan oleh matematikawan selanjutnya.
Matematikawan adalah seseorang yang bidang studi dan penelitiannya matematika. Sehingga dapat diartikan pula bahwa matematikawan merupakan orang yang mencari masalah-masalah matematika, mereferensinya, dan kemudian menelitinya, hingga dapat dipublikasikan kepada matematikawan lainnya.
Ilmu matematika yang kita peroleh dan kita mengerti merupakan matematika kita sendiri. Oleh karena itu, matematikaku merupakan pikiranku, yang juga merupakan diriku sendiri.
Matematikawan adalah seseorang yang bidang studi dan penelitiannya matematika. Sehingga dapat diartikan pula bahwa matematikawan merupakan orang yang mencari masalah-masalah matematika, mereferensinya, dan kemudian menelitinya, hingga dapat dipublikasikan kepada matematikawan lainnya.
Ilmu matematika yang kita peroleh dan kita mengerti merupakan matematika kita sendiri. Oleh karena itu, matematikaku merupakan pikiranku, yang juga merupakan diriku sendiri.
Langganan:
Postingan (Atom)